K 4 применение свойств арифметического квадратного корня. Квадратный корень. Подробная теория с примерами. Внесение под знак корня

Название: Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса.

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса алгебры и геометрии 8 класса.

Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся.

СОДЕРЖАНИЕ
АЛГЕБРА 4
С-1 Рациональные выражение. Сокращение дробей 4
С-2 Сложение и вычитание дробей 5
К-1 Рациональные дроби. Сложение и вычитание дробей 7
С-3 Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень 10
С-4 Преобразование рациональных выражений 12
С-5 Обратная пропорциональность и ее график 14
К-2 Рациональные дроби 16
С-6 Арифметический квадратный корень 18
С-7 Уравнение х2 = а. Функция у = у[х 20
С-8 Квадратный корень из произведения, дроби, степени 22
К-3 Арифметический квадратный корень и его свойства 24
С-9 Внесение и вынесение множителя в квадратных корнях 27
С-10 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни 28
К-4 Применение свойств арифметического квадратного корня 30
С-11 Неполные квадратные уравнения 32
С-12 Формула корней квадратного уравнения 33
С-13 Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета 34
К-5 Квадратные уравнения 36
С-14 Дробные рациональные уравнения 38
С-15 Применение дробных рациональных уравнений. Решение задач 39
К-6 Дробные рациональные уравнения 40
С-16 Свойства числовых неравенств 43
К-7 Числовые неравенства и их свойства 44
С-17 Линейные неравенства с одной переменной 47
С-18 Системы линейных неравенств 48
К-8 Линейные неравенства и системы неравенств с одной переменной 50
С-19 Степень с отрицательным показателем 52
К-9 Степень с целым показателем 54
К-10 Годовая контрольная работа 56
ГЕОМЕТРИЯ (По Погорелову) 58
С-1 Свойства и признаки параллелограмма". 58
С-2 Прямоугольник. Ромб. Квадрат 60
К-1 Параллелограмм 62
С-3 Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 63
С-4 Трапеция. Средняя линия трапеции 66
К-2 Трапеция. Средние линии треугольника и трапеции....68
С-5 Теорема Пифагора 70
С-6 Теорема, обратная теореме Пифагора. Перпендикуляр и наклонная 71
С-7 Неравенство треугольника 73
К-3 Теорема Пифагора 74
С-8 Решение прямоугольных треугольников 76
С-9 Свойства тригонометрических функций 78
К-4 Прямоугольный треугольник (обобщающая контрольная работа) 80
С-10 Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности 82
С-11 Уравнение прямой 84
К-5 Декартовы координаты 86
С-12 Движение и его свойства. Центральная и осевая симметрии. Поворот 88
С-13. Параллельный перенос 90
С-14 Понятие вектора. Равенство векторов 92
С-15 Действия с векторами в координатной форме. Коллинеарные векторы 94
С-16 Действия с векторами в геометрической форме 95
С-17 Скалярное произведение 98
К-6 Векторы 99
К-7 Годовая контрольная работа 102
ГЕОМЕТРИЯ (По Атанасяну) 104
С-1 Свойства и признаки параллелограмма 104
С-2 Прямоугольник. Ромб. Квадрат 106
К-1 Четырехугольники 108
С-3 Площадь прямоугольника, квадрата 109
С-4 Площадь параллелограмма, ромба, треугольника 111
С-5 Площадь трапеции 113
С-6 Теорема Пифагора 114
К-2 Площади. Теорема Пифагора 116
С-7 Определение подобных треугольников. Свойство биссектрисы угла треугольника 118
С-8 Признаки подобия треугольников 120
К-3 Подобие треугольников 122
С-9 Применение подобия к решению задач 124
С-10 Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 126
К-4 Применение подобия к решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 128
С-11 Касательная к окружности 130
С-12 Центральные и вписанные углы 132
С-13 Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Замечательные точки треугольника 134
С-14 Вписанная и описанная окружности 136
К-5 Окружность 137
С-15 Сложение и вычитание векторов 139
С-16 Умножение вектора на число 141
С-17 Средняя линия трапеции 142
К-6 Векторы. Применение векторов к решению задач 144
К-7 Годовая контрольная работа 146
ОТВЕТЫ 148
ЛИТЕРАТУРА 157

ПРЕДИСЛОВИЕ .
1. В одной сравнительно небольшой книге содержится полный набор проверочных работ (включая итоговые контрольные работы) по всему курсу алгебры и геометрии 8-го класса, благодаря чему достаточно приобрести один комплект книг на класс.
Контрольные работы рассчитаны на урок, самостоятельные работы - на 20-35 минут, в зависимости от темы. Для удобства пользования книгой в названии каждой самостоятельной и контрольной работы отражена ее тематика.

2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б - среднему уровню сложности, задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено 2 расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса. Голобородько В.В., Ершова А.П., 2004
• Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В., 2004
• Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии, 8 класс, Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С., 2013

В этой статье мы разберем основные свойства корней . Начнем со свойств арифметического квадратного корня, дадим их формулировки и приведем доказательства. После этого займемся свойствами арифметического корня n -ой степени.

Навигация по странице.

Свойства квадратного корня

В этом пункте мы разберемся со следующими основными свойствами арифметического квадратного корня :

В каждом из записанных равенств можно левую и правую части поменять местами, например, равенство можно переписать как . В таком «обратном» виде свойства арифметического квадратного корня применяются при упрощении выражений столь же часто, как и в «прямом» виде.

Доказательство первых двух свойств базируется на определении арифметического квадратного корня и на . А для обоснования последнего свойства арифметического квадратного корня придется вспомнить .

Итак, начнем с доказательства свойства арифметического квадратного корня из произведения двух неотрицательных чисел : . Для этого, согласно определению арифметического квадратного корня, достаточно показать, что - неотрицательное число, квадрат которого равен a·b . Сделаем это. Значение выражения неотрицательно как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени произведения двух чисел позволяет записать равенство , а так как по определению арифметического квадратного корня и , то .

Аналогично доказывается, что арифметический квадратный корень из произведения k неотрицательных множителей a 1 , a 2 , …, a k равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. Действительно, . Из этого равенства следует, что .

Приведем примеры: и .

Теперь докажем свойство арифметического квадратного корня из частного : . Свойство частного в натуральной степени позволяет нам записать равенство , а , при этом есть неотрицательное число. Это и является доказательством.

Например, и .

Пришло время разобрать свойство арифметического квадратного корня из квадрата числа , в виде равенства оно записывается как . Для его доказательства рассмотрим два случая: при a≥0 и при a<0 .

Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство . Также легко заметить, что при a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 и (−a) 2 =a 2 . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Приведем примеры: и .

Только что доказанное свойство квадратного корня позволяет обосновать следующий результат , где a – любое действительное число, а m – любое . В самом деле, свойство возведения степени в степень позволяет заменить степень a 2·m выражением (a m) 2 , тогда .

К примеру, и .

Свойства корня n-ой степени

Сначала перечислим основные свойства корней n-ой степени :

Все записанные равенства остаются справедливыми, если в них поменять местами левую и правую части. В таком виде они употребляются также часто, в основном при упрощении и преобразовании выражений.

Доказательство всех озвученных свойств корня основывается на определении арифметического корня n-ой степени , на свойствах степени и на определении модуля числа. Докажем их в порядке очередности.

Начнем с доказательства свойства корня n-ой степени из произведения . Для неотрицательных a и b значение выражения тоже неотрицательно, как произведение неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство . По определению арифметического корня n -ой степени и , следовательно, . Этим доказано рассматриваемое свойство корня.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a 1 , a 2 , …, a n выполняется и .

Приведем примеры использования свойства корня n -ой степени из произведения: и .

Докажем свойство корня из частного . При a≥0 и b>0 выполняется условие , а .

Покажем примеры: и .

Двигаемся дальше. Докажем свойство корня n-ой степени из числа в степени n . То есть, докажем, что и для любого действительного a и натурального m . При a≥0 имеем и , что доказывает равенство , а равенство очевидно. При a<0 имеем и (последний переход справедлив в силу свойства степени с четным показателем), что доказывает равенство , а справедливо в силу того, что при разговоре о корне нечетной степени мы приняли для любого неотрицательного числа c .

Приведем примеры использования разобранного свойства корня: и .

Переходим к доказательству свойства корня из корня . Поменяем местами правую и левую части, то есть, докажем справедливость равенства , которое будет означать справедливость исходного равенства. Для неотрицательного числа a корень из корня вида является неотрицательным числом. Вспомнив свойство возведения степени в степень, и воспользовавшись определением корня, можно записать цепочку равенств вида . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказывается и свойство корня из корня из корня и т.д. Действительно, .

Например, и .

Докажем следующее свойство сокращения показателя корня . Для этого в силу определения корня достаточно показать, что есть неотрицательное число, которое при возведении в степень n·m равно a m . Сделаем это. Понятно, что если число a неотрицательное, то корень n -ой степени из числа a является неотрицательным числом. При этом , что и завершает доказательство.

Приведем пример применения разобранного свойства корня: .

Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида . Очевидно, что при a≥0 степень является неотрицательным числом. Более того, ее n -ая степень равна a m , действительно, . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, .

Переходим дальше. Докажем, что для любых положительных чисел a и b , для которых выполняется условие a, то есть, a≥b . А это противоречит условию a

Для примера приведем верное неравенство .

Наконец, осталось доказать последнее свойство корня n -ой степени. Докажем сначала первую часть этого свойства, то есть, докажем, что при m>n и 0. Тогда в силу свойств степени с натуральным показателем должно выполняться неравенство , то есть, a n ≤a m . А полученное неравенство при m>n и 0

Аналогично методом от противного доказывается, что при m>n и a>1 выполняется условие .

Приведем примеры применения доказанного свойства корня в конкретных числах. К примеру, верны неравенства и .

Список литературы.