На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.
В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.
А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?
Давайте проверим
Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4
Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.
Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).
Рис. 1. Порядок действий
В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.
Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.
Видим, что значения выражений получаются разные.
Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .
Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.
Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.
Потренируемся.
Рассмотрим выражение
В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .
Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).
Рис. 2. Порядок действий
Рассмотрим второе выражение
В этом выражении имеются только действия умножения и деления - это действия второй ступени.
Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).
Рис. 3. Порядок действий
В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?
Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Рассмотрим выражение.
Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.
Вычислим значение выражения.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?
Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.
Рассмотрим выражение.
30 + 6 * (13 - 9)
Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.
30 + 6 * (13 - 9)
Вычислим значение выражения.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?
Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:
1. действия, записанные в скобках;
2. умножение и деление;
3. сложение и вычитание.
Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).
Рис. 4. Порядок действий
Потренируемся.
Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Будем действовать по правилу. В выражении 43 - (20 - 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
В выражении 32 + 9 * (19 - 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие - умножение, второе - деление, третье - вычитание.
2*9-18:3=18-6=12
Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Рассуждаем так.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие - деление, второе - умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое - вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.
Найдем значение данного выражения.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Продолжаем рассуждать.
Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие - в скобках, второе - деление, третье - сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие - в скобках, второе - умножение, третье - вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Выполним задание.
Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).
Рис. 5. Порядок действий
Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.
Действуем по алгоритму.
В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.
Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого - вычитание.
Проверим себя (рис. 6).
Рис. 6. Порядок действий
Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.
Список литературы
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
- «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
- С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
- Openclass.ru ().
Домашнее задание
1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.
2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:
1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.
3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:
1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание
1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение
1. умножение; 2. деление; 3. сложение
Найди значение этих выражений.
Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.
В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.
Определение 1В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:
- Все действия выполняются слева направо.
- В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.
Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.
Пример 1
Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .
Решение
В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .
Пример 2
Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?
Решение
Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.
Пример 3
Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .
Решение
Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:
17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .
Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:
Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.
Что такое действия первой и второй ступени
Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.
К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.
Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:
Определение 2
В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Определение 3
Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.
Пример 4
Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .
Решение
В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:
7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1
Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6
На этом вычисления можно закончить.
Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.
Пример 5
Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .
Решение
У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .
Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 - 1 , результатом которой будет 7 .
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.
Разберем пример такого вычисления.
Пример 6
Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .
Решение
У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .
(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .
В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:
1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)
2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)
3. Примеры, в которых много действий
1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)
Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:
Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.
*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.
Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:
В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.
А теперь — тренажеры!
1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.
2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.
3) Примеры со скобками. Тренажер №2
4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер
2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)
Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.
Сначала рассмотрим примеры без скобок:
Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:
Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:
3 Примеры, в которых много действий
Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).
Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:
Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.
А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!
Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:
- Если в выражении присутствует возведение в степень, то сначала выполняется это действие в порядке следования, т. е. слева направо.
- Затем (при наличии в выражении) выполняются действия умножения и деления в порядке их следования.
- Последними (при наличии в выражении) выполняются действия сложения и вычитания в порядке их следования.
В качестве примера рассмотрим следующее выражение:
Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):
3 · 16 - 8: 2 + 20
Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):
И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):
48 - 4 + 20 = 44 + 20 = 64
Действия первой и второй ступени
Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени , умножение и деление - действиями второй ступени .
Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.
Пример 1.
15 + 17 - 20 + 8 - 12
Решение. Данное выражение содержит действия только одной ступени - первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.
Ответ: 42.
Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.
Пример. Вычислить значение выражения:
24: 3 + 5 · 2 - 17
Решение. Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым - умножение, третьим - сложение, а четвёртым - вычитание.
Теперь приступим к вычислению.
Загрузка...